Zlatni rez proporcija je koja se od najstarijih vremena smatra najsavršenijom i najskladnijom. Čini osnovu mnogih drevnih građevina, od kipova do hramova, i vrlo je česta u prirodi. U isto vrijeme, taj se udio izražava u iznenađujuće elegantnim matematičkim konstrukcijama.
Instrukcije
Korak 1
Zlatni omjer definiran je na sljedeći način: to je takva podjela segmenta na dva dijela da se manji dio odnosi na veći na isti način kao što se veći dio odnosi na cijeli segment.
Korak 2
Ako se uzme dužina cijelog segmenta kao 1, a duljina većeg dijela kao x, tada će se traženi udio izraziti jednadžbom:
(1 - x) / x = x / 1.
Pomnoživši obje strane proporcije s x i prenoseći članove, dobivamo kvadratnu jednačinu:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Korak 3
Jednadžba ima dva stvarna korijena, od kojih nas prirodno zanimaju samo pozitivni. Jednako je (√5 - 1) / 2, što je približno jednako 0, 618. Ovaj broj izražava zlatni omjer. U matematici se najčešće označava slovom φ.
Korak 4
Broj φ ima niz izvanrednih matematičkih svojstava. Na primjer, čak i iz originalne jednadžbe vidi se da je 1 / φ = φ + 1. Zaista, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Korak 5
Drugi način izračunavanja zlatnog reza je upotreba beskonačne frakcije. Polazeći od bilo kojeg proizvoljnog x, možete sekvencijalno konstruirati razlomak:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
itd.
Korak 6
Da bi se olakšali proračuni, ovaj se razlomak može predstaviti kao iterativni postupak, u kojem za izračunavanje sljedećeg koraka morate dodati jedan rezultatu prethodnog koraka i podijeliti jedan s rezultirajućim brojem. Drugim riječima:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ovaj proces konvergira, a njegova granica je φ + 1.
Korak 7
Ako izračun recipročnog zamijenimo ekstrakcijom kvadratnog korijena, odnosno izvedemo iterativnu petlju:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), tada će rezultat ostati nepromijenjen: bez obzira na prvobitno odabrani x, iteracije se konvergiraju na vrijednost φ + 1.
Korak 8
Geometrijski se zlatni omjer može konstruirati pomoću pravilnog petougla. Ako u njemu nacrtamo dvije dijagonale koje se sijeku, tada će svaka od njih drugu strogo podijeliti u zlatnom rezu. Ovo zapažanje, prema legendi, pripada Pitagori, koji je bio toliko šokiran pronađenim uzorkom da je ispravnu petokraku zvijezdu (pentagram) smatrao svetim božanskim simbolom.
Korak 9
Razlozi zbog kojih se zlatni rez čovjeku čini najskladnijim su nepoznati. Međutim, eksperimenti su više puta potvrdili da ispitanici kojima je naloženo da podijele segment na dva nejednaka dijela to najljepše čine u proporcijama vrlo bliskim zlatnom rezu.
